中学数学教学中的数学概念

数学概念是数学科学知识体系的基础，同时，数学概念又表现为数学思维的一种形式。数学概念的学习与学生对数学知识的掌握、合理的数学认知结构的形成以及数学能力的提高都密切相关。因此，数学概念的教学对于提高数学教学质量，实现教学目标，都起着关键的作用。

1.概念的内涵与外延

概念的内涵与外延是概念的基本特征，是准确把握概念和系统掌握知识的基础。因此，对概念的内涵与外延应特别予以重视。

概念的内涵：概念所反映的事物的本质属性的总和

概念的外延：概念所反映的事物的总和（或范围）

概念的内涵和外延是分别对事物的质和量的规定

例如：“偶数”这个概念的内涵是“能被2整除”这个性质，其外延是所有偶数的全体。

2.内涵与外延之间的关系

概念的外延和内涵这两个方面是相互联系、相互制约的。当概念的内涵扩大时，概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。

例如：在四边形的内涵中，增加“两组对边分别平行”这个性质，就得到平行四边形的概念，而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了；在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质，就是三角形的内涵，而三角形的外延比等腰三角形的外延扩大了。注意：这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含关系的两个概念之间。

3.概念间的关系

逻辑上所说的概念间的关系，通常指概念外延间的同异关系。在形式逻辑中，两个概念的外延之间，主要有以下几种关系：

（1）相容关系

如果两个概念的外延交集是非空集合，即外延至少有一部分是重合的，则两者具有相容关系。相容关系又分以下三种情形。

①同一关系

外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系。例如：“直线”与“一次曲线”这两个概念，虽然它们是从不同的角度来说明问题的，但是，它们的外延完全重合，指的是同一类对象。如：“等腰三角形底边上的中线”与“等腰三角形底边上的高”、“等边的矩形”与“直角的菱形”等之间的关系都是同一关系。

②交叉关系

外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称为交叉关系，这两个概念称为交叉概念。例如：“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交叉关系。

③从属关系（包含关系）

如果A概念的外延包含B概念的外延，那么这两个概念间的关系称为从属关系。其中A概念叫作B概念的属概念（或上位概念），B概念叫作A概念的种概念（或下位概念）。例如：有理数概念是实数概念的种概念，而实数概念是有理数概念的属概念。

（2）不相容关系

如果两个概念是同一属概念下的种概念，并且他们的外延集合的交集为空集，那么称这两个概念间的关系是不相容关系或全异关系或排斥关系。不相容关系又分为对立关系和矛盾关系。

①对立关系（反对关系）

在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立关系。例如：“正实数”与“负实数”是对立关系的两个概念，因为它们的外延相互排斥，其外延之和小于它们最邻近的属概念“实数”的外延。

②矛盾关系

在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。例如：“负数”与“非负数”、“实数”与“虚数”、“有理数”与“无理数”、“直角三角形”与“非直角三角形”等概念之间的关系都是矛盾关系。