行测备考：复习“老朋友”一元二次函数的极值

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一元二次函数是大家在中学时代学习的一个函数式，相信大家对其都有印象，在行测考试中，如何利用它求极值问题，可能已经有些“陌生”了，今天展鸿教育整理了这个“最熟悉的陌生人”一元二次函数求极值，为大家答疑解惑。

一、概念梳理

一元二次函数的一般式为y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，y有最小值；当a＜0时，y有最大值。当x=-b/2a时，y取最值，将x代入函数求得具体的最值。

二、解题方法

1.极值坐标点求极值：一元二次的函数图像为抛物线，可利用其对称轴x=-b/2a求极值，其极值坐标点为（-b/2a，（4ac-b²/4a））

【例题1】某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则为多少？（    ）

A.3360元    B.3370元    C.3380元    D.3390元

【答案】C。解析：设应降低x元，总利润为y元，则降低后的销售单价为（100-x）元，销量为（120+20x）件，进货单价为80元，总利润y=（100-x-80）×（120+2x），将其化简成函数式为y=-20x2+280x+2400，根据一元二次函数图像性质，当x=-b/2a=[280/（-20×2）]=7时，y最大，y=[（4ac-b²）/4a]=[（-20×4×2400-280²）/（-20×4）]=3380。故本题选C。

2.均值不等式求极值：均值不等式其基本概念是：若a、b是实数，（a-b）2≥0，则a2+b2≥2ab等号当且仅当a=b的时候取得。将一元二次多项式分解成两个和一定的一次因式的乘积，且未知数系数互为相反数形式，即y=a（x-p）×b（q-x）的形式，因为（x-p）与（q-x）的和为定值，根据和一定，乘积有最大值的结论，当且仅当（x-p）=（q-x）时，（x-p）×（q-x）有最大值。

【例题2】某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获利8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，则日减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（    ）元。

A.620    B.630    C.640    D.650

【答案】C。解析：设提高x档，则每件产品的利润增加2x元，日产量减少5x件，总利润为y元，每天获得的利润为y=（8+2x）×（60-5x）=10×（4+x）×（12-x）元，因为（4+x）×（12-x）=16是定值，根据均值不等式原理，故当且仅当4+x=12-x时，即x=4时，（4+x）×（12-x）的值最大，即可获得最大利润，为10×（4+4）×（12-4）=640元。故本题选C。

通过上面两道例题，可以看出无论是采用一元二次函数的顶点公式还是因式分解的方法都可以解出题目。方法一需要我们将函数整理为一般式用坐标极值求解，方法二需要我们将函数整理成两式相乘，且两式未知数系数互为相反数的形式用和定积求解，不管是哪一种方法，大家都要熟练掌握才可以快速解题。